¶ 神经网络
¶ 神经元
下方展示了一个神经元的结构示意图，它大致由树突、细胞体（图中细胞核和周围的部分）、轴突、轴突末梢等几部分组成。树突是神经元的输入信号通道，它的功能是将其他神经元的动作电位（可以当作一种信号）传递至细胞体。
在接收到其他神经元的信号后，细胞体会根据这些信号改变自己的状态，变成“激活态”还是“未激活态”。具体的状态取决于输入信号，也取决于神经细胞本身的性质（抑制或加强）。当信号量超过某个阈值时，细胞体就会被激活，产生电脉冲。电脉冲会沿着轴突传播，并通过轴突末梢传递到其它神经元。
将其转化为数学形式，x1、x2就相当于两个树突传递的输入信号，蓝圈内的结构相当于神经元的细胞体，细胞体用某种方式处理好输入信号之后，就通过右面的轴突输出信号 y。
其实细胞体中的计算就做了两件事情，一件事情是把输入信号 x1、x2各自乘以一个权重 w1、w2，再把各自的乘积加起来之后输入到一个叫“激活函数”的结构里。
上图中激活函数是 sigmoid 激活函数，它的数学定义是：
它的函数图像就是上图中的 S 型曲线，它的作用是把输入信号从（-∞，+∞）的定义域映射到（0，1）的值域（因为在点击率预测，推荐问题中，往往是要预测一个从 0 到 1 的概率）。再加上 sigmoid 函数有处处可导的优良数学形式，方便之后的梯度下降学习过程，所以它成为了经常使用的激活函数。
当然，激活函数的种类有很多种，比较流行的还有 tanh、ReLU 等，在训练神经元或者神经网络的时候，可以尝试多种激活函数，根据效果来做最终的决定。
¶ 神经网络
单神经元由于受到简单结构的限制，预测能力并不强，因此在解决复杂问题时，我们经常会用多神经元组成一个网络，这样它就具有更强的拟合数据的能力了，这也就是我们常说的神经网络。比如说，下图就向我们展示了一个由输入层、两神经元隐层和单神经元输出层组成的简单神经网络。
其中，每个蓝色神经元的构造都和刚才的单神经元构造相同，h1和 h2神经元的输入是由 x1和 x2组成的特征向量，而神经元 o1的输入则是由 h1和 h2输出组成的输入向量。这是一个最简单的三层神经网络，在深度学习的发展过程中，正是因为研究人员对神经元不同的连接方式的探索，才衍生出各种不同特性的深度学习网络，让深度学习模型的家族树枝繁叶茂。
¶ 神经网络是怎么学习的？
清楚了神经网络的结构之后，更重要的问题是我们该如何训练一个神经网络。也就是说，我们怎么得到下图 中 x1到 h1、h2的权重 w1、w3，以及图中其他的权重呢？
这里需要用到神经网络的重要训练方法，前向传播（Forward Propagation）和反向传播（Back Propagation）。前向传播的目的是在当前网络参数的基础上得到模型对输入的预估值，也就是我们常说的模型推断过程。比如说，我们要通过一位同学的体重、身高预测 TA 的性别，前向传播的过程就是给定体重值 71，身高值 178，经过神经元 h1、h2和 o1的计算，得到一个性别概率值，比如说 0.87，这就是 TA 可能为男性的概率。
在得到预估值之后，就可以利用损失函数（Loss Function）计算模型的损失。如采用绝对值误差（Absolute Loss）作为损失函数，如果这位同学的真实性别是男，那真实的概率值就是 1，根据公式 2 的绝对值误差定义，这次预测的损失就是|1-0.87| = 0.13。
发现了预测值和真实值之间的误差（Loss），我们就要用这个误差来指导权重的更新，让整个神经网络在下次预测时变得更准确。最常见的权重更新方式就是梯度下降法，它是通过求取偏导的形式来更新权重的。比如，我们要更新权重 w5，就要先求取损失函数到 w5 的偏导 。从数学角度来看，梯度的方向是函数增长速度最快的方向，那么梯度的反方向就是函数下降最快的方向，所以让损失函数减小最快的方向就是我们希望梯度 w5 更新的方向。这里我们再引入一个超参数 ，它代表了梯度更新的力度，也称为学习率。好，现在我们可以写出梯度更新的公式了：
。公式中的当然可以换成其他要更新的参数，公式中的 t 代表着更新的次数。
对输出层神经元来说（图中的 o1），可以直接利用梯度下降法计算神经元相关权重（即图中的权重 w5和 w6）的梯度，从而进行权重更新，但对隐层神经元的相关参数（比如 w1），又该如何利用输出层的损失进行梯度下降呢？
答案是“利用求导过程中的链式法则（Chain Rule）”。通过链式法则我们可以解决梯度逐层反向传播的问题。最终的损失函数到权重 w1的梯度是由损失函数到神经元 h1输出的偏导，以及神经元 h1输出到权重 w1的偏导相乘而来的。也就是说，最终的梯度逐层传导回来，“指导”权重 w1的更新。
具体在计算的时候，我们需要根据具体的问题明确最终损失函数的形式，以及每层神经元激活函数的形式，再根据具体的函数形式进行偏导的计算。
神经元是神经网络中的基础结构，它参照生物学中的神经元构造，抽象出带有输入输出和激活函数的数学结构。而神经网络是通过将多个神经元以串行、并行、全连接等方式连接起来形成的网络，神经网络的训练方法是基于链式法则的梯度反向传播